Lingkaran

 1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut dinamakan jari jari lingkaran dan titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran.

2. Unsur Unsur Lingkaran
Perhatikan Gambar Di Bawah Ini

Unsur unsur sebuah lingkaran diantaranya:
a. Titik Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah tengah lingkaran. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Demikian lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari Jari (r)
Jari jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran. Jari jari lingkaran diantaranya garis OA, OB, dan OC.

c. Diameter (d)
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO+OB. Jadi, diameter adalah dua kali nilai jari jari, ditulis d=2r.

d. Busur
Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung AB  merupakan busur lingkaran O.

e. Tali Busur
Tali busur adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat.

f. Tembereng
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.

g. Juring
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari jari lingkaran tersebut. Juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema
Apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.


3. Rumus Keliling Lingkaran
           
             Keliling = π × d   atau     Keliling = 2 × π × r
    
     Keterangan:
         π = phi = 22/7 atau 3,14
         d = diameter, satuannya tergantung soal
         r = jari-jari, satuannya tergantung soal

4. Rumus Luas Lingkaran

                   Luas = π × r²

       Keterangan:

          π = phi = 3,14 atau 22/7
          r = jari-jari, satuannya tergantung soal, biasanya menggunakan meter (m)


Sumber :
www.kokohnaxnetig.blogspot.com
www.masfikr.com

Untuk pembaca yang ingin mempelajari lebih lanjut bisa melalui Math Open Reference
Silahkan Klik di sini 

            

Read More

Persamaan Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r.

         
Dari gambar, diperoleh persamaan : OP = r

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di O dan berjari-jari r , yaitu :

Suatu titik A dikatakan :
a. Terletak pada lingkaran 
b. Terletak di dalam lingkaran
c. Terletak di luar lingkaran

B. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P (a, b) dan berjari-jari r.

Gambar di atas adalah sebuah lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r. Titik Q (x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran.

Dari gambar diperoleh persamaan : PQ = r


Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di P (a, b) dan berjari-jari r, yaitu :
Suatu titik A dikatakan :
a. Terletak pada lingkaran
b. Terletak di dalam lingkaran
c. Terletak di luar lingkaran

 C. Persamaan Umum Lingkaran
Bila kita menjabarkan persamaan :

Dan mengatur kembali suku-sukunya, maka akan diperoleh :

Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan dengan :

Dengan :


Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di dan
berjari-jari
 

D. Persamaan garis singgung lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik lingkaran
* Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran ditentukan dengan rumus

* Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran
dinyatakan dengan rumus :

*Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran dinyatakan dengan rumus :

2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui.
* Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran , maka persamaan garis singgungnya adalah : * Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran
Maka persamaan garis singgungnya :

3. Garis singgung melalui sebuah titik diluar lingkaran
Dari suatu titik P yang terletak di luar garis lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.
Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P terletak di luar garis lingkaran adalah :
Langkah menentukan gradien ( m ) untuk persamaan (10) adalah sebagai berikut :

1. Substitusikan persamaan ke persamaan lingkaran sehingga
    diperoleh suatu persamaan kuadrat.

2. Dengan mengambil nilai D=0 , maka dipetoleh nilai m.


Sumber :  www.rumus.web.id

Read More

Tabung : Sifat, Rumus, dan Jaring Tabung

Tabung adalah salah satu bangun ruang sisi lengkung.
Secara spesifik, tabung adalah suatu bangun ruang berbentuk prisma tegak beraturan dengan alas dan tutupnya berupa lingkaran.

Sifat-sifat Tabung

1. Mempunyai 3 bidang sisi : alas, tutup dan selimut (sisi tegak)
2. Bidang alas dan tutup berupa lingkaran
3. Sisi tegak berupa bidang lengkung yang dinamakan selimut tabung
4. Mempunyai 2 rusuk : rusuk alas dan tutup
5. Tinggi tabung: jarak titik pusat alas dan titik pusat tutup
6. Jari-jari lingkaran alas dan tutup besarnya sama

 Jaring-jaring Tabung

 Rumus Luas Permukaan Tabung

Luas alas = luas tutup = luas lingkaran = πr2
Luas selimut tabung    = 2πrt
Luas permukaan tabung  = 2 x luas alas + luas selimut
                       = 2 πr2 + 2πrt
                       = 2πr(r + t)
Volume tabung = luas alas x tinggi
              = πr2t

 Sumber : http://rumusdasarmatematika.blogspot.com

Read More

Mencari Irisan Bidang

Irisan Bidang 

Oleh Fkip Matematika 2014 Palembang 

Irisan bidang suatu bangun ruang, serta irisan antara bidang dengan bangun ruang yang di definisikan sebagai suatu bangun datar yang dibatasi garis potong antar bidangnya dari bangun ruang tersebut. Sehingga irisan tersebut membagi bangun ruang menjadi dua buah bagian.

Bagaimanaka irisan bidang sebuah kubus??? berikut ini salah satu contoh irisan bidang pada sebuah kubus menggunakan aplikasi Cabri 3D..  Selamat menyaksikan :)

Read More

Video Menemukan Rumus Luas Lingkaran

 Menemukan Rumus Luas Lingkaran

Oleh  : Dedhik Irawanto

   Rumus Luas Lingkaran  

         Luas = π × r²

   Keterangan:

          π = phi = 3,14 atau 22/7
          r = jari-jari, satuannya tergantung soal, biasanya menggunakan meter (m)

Taukah kalian, Dari mana bisa muncul Rumus tersebut ??
Tidak tau?? ayo lihat video berikut !!!

Read More

Pembuktian Volume Bola

Read More

Sejarah Singkat Pencerminan

Sejarah Singkat Geometri

Paling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai ’sumber’ penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000 SM - 500 SM), Yunani (600 SM – 400 SM), Mesir (5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab (600 - 1500 AD), India (1500 BC - 200 BC), dan Cina (100 SM - 1400). Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain, Namun, kurang signifikan atau belum terekam dalam tradisi tulisan.

Bangsa Babilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai Eufrat dan sungai Tigris di wilayah Timur Tengah. Pada mulanya, daerah ini ditempati oleh bangsa Sumeria. Pada saat itu, 3500 SM, atau sekitar 5000 tahun yang lalu telah hidup sangat maju. Banyak gedung dibangun  seperti kota waktu kini. Sistem irigasi dan sawah pertanian juga telah berkembang. Geometri dipikirkan oleh para insinyur untuk keperluan pembangunan.

Geometri yang lahir dan berkembang di Babilonia merupakan sebuah hasil dari keinginan dan harapan para pemimpin pemerintahan dan agama pada masa itu. Hal ini dimaksudkan untuk bisa mendirikan berbagai bangunan yang kokoh dan besar.  Juga harapan bagi para raja agar dapat menguasai tanah untuk kepentingan pendapatan pajak. Teknik-teknik geometri yang berkembang saat itu pada umumnya masih kasar dan bersifat intuitif. Akan tetapi, cukup akurat dan dapat memenuhi kebutuhan perhitungan berbagai fakta tentang teknik-teknik geometri saat itu termuat dalam Ahmes Papirus yang ditulis lebih kiurang tahun 1650 SM dan ditemukan pada abad ke-9. Peninggalan berupa tulisan ini merupakan bagian dari barang-barang yang tersimpan oleh museum-museum di London dan New York. Dalam Papirus ini terdapat formula tentang perhitungan luas daerah suatu persegi panjang, segitiga siku-siku, trapesium yang mempunyai kaki tegak lurus dengan alasnya, serta formula tentang pendekatan perhitungan luas daerah lingkaran. Orang-orang Mesir rupanya telah mengembangkan rumus-sumus ini dalam kehidupan mereka untuk menghitung luas tanah garapannya.

Selain melanjutkan mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan ’sexagesimal’ berbasis 60. Kita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini  ketika berbicara tentang waktu.

Mereka membagi hari ke dalam 24 jam. Satu jam dibagi menjadi 60 menit. Satu menit dibagi menjadi 60 detik. Kita mengatakan, misalnya, saat ini adalah pukul 9, 25 menit, 30 detik. Kalau dituliskan akan berbentuk pukul 9 25' 30", dan dalam sexagesimal dapat dituliskan sebagai 9 5 ²⁵/₆₀ ³⁰/_3600.  Sistem ini telah menggunakan nilai tempat seperti yang kita gunakan dewasa ini  (dalam basis 10 bukan dalam basis 60).

Bangsa Babilonia mengembangkan cara mengitung luas dan volume. Di antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali panjang garis tengahnya. Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π . Rumus Pythagoras juga sudah dikenal pada masa itu.

Bangsa Mesir mendiami wilayah yang sangat subur di sepanjang sungai Nil. Pertanian berkembang pesat. Pemerintah memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil. Maka, geometri maju di sini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan walayah di sepanjang sungai Nil itu.

Di Yunani, geometri mengalami masa ’emas’nya. Sekitar 2000 tahun yang lalu, ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori aksiomatis. Teori berpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja. Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma. Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan. Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides. Geometri yang kita ajarkan secara formal di sekolah merupakan ’kopi-an’ dari geometri Euclides ini.

Di awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin. Kita kenal belajaralah hingga ke negeri Cina. Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia. Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar. Kita mengenalnya menjadi geometri analitik. Mereka juga mengembangkan polinomial.

Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang  pengetahuan matematika yang handal. Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar. Salah satu syaratnya adalah  bentuk boleh ( bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama. Misalnya, membuat pangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata. Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.   Saat itulah muncul ahli geometri di India.  Tentu, bangunan itu  juga dilengkapi dengan atap. Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India. Di sinilah berkembang teori-teori geometri.

Seperti cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuwan Cina sejak 2000 tahun sebelum Masehi (atau sekitar 4000 tahun yang lalu). Kalau di Eropa terdapat buku ‘Unsur-unsur’, geometri Euclides yang mampu menembus waktu 2000 tahun tanpa tertandingi, di timur, Cina terdapat buku ‘Sembilan bab tentang matematika’ yang dibuat sekitar tahun 179 oleh Liu Hui. Buku ini memuat banyak masalah geometri. Di antaranya menghitung luas dan volume. Dalam buku itu juga mengupas hukum Pythagoras. Juga banyak dibicarakan tentang polygon.

Pada Zaman Pertengan, Ahli matematik Muslim banyak menyumbangkan mengenai perkembangan geometri, terutama geometri aljabar dan  aljabar geometri. Al- Mahani (1.853) mendapat idea menguraikan masalah geometri seperti menyalin kubus kepada masalah dalam bentuk aljabar. Thabit ibn Qurra (dikenal sebagi Thebit dalam Latin) (836 – 901) mengendali dengan pengendalian arimetikal yang diberikan kepada ratio kuantitas geometri, dan menyumbangkan tentang  pengembangan geomeri analitik. Omar Khayyam (1048 -1131) menemukan penyelasaian geometri kepada persamaan kubik, dan penyelidikan selanjutnya yang terbesar adalah kepada pengembangan geometri bukan Euclid.

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Yang pertama, dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan secara sistematik dari geometri proyektif oleh Girard Desargues (1591-1661). Geometri proyektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, Cuma dengan menyelidik bagaimana hubungan antara satu sama lain.

Dua perkembangan dalam geometri pada abad ke-19,mengubah cara ia telah dipelajari sebelumnya. Ini merupakan penemuan Geometri bukan Euclid oleh Lobachevsky, Bolyai dan Gauss dan dari formulasi simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen dari Felix Klein (yang menyimpulkan geometri Euclid dan bukan Euclid). Dua dari ahli geometri pada masa itu ialah Bernhard Riemann, bekerja secara analisis matematika, dan Henri Poincaré, sebagai pengagas topologi algebraik dan teori geometrik dari sistem dinamikal.

Sebagai akibat dari perubahan besar ini dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan berbeda, dan latar belakang semula hanya teori yang berlainan seperti analisis kompleks dan mekanik klasikal. Jenis tradisional geometri telah dikenal pasti seperti dari ruang homogeneous, yaitu ruang itu mempunyai bekalan simetri yang mencukupi, supaya dari poin ke poin mereka kelihatan sama.

Penulis

Dayang Noriana Mohd Nor

Dayang Noriana Mohd Nor

Dayang Noriana Mohd Nor

Dayang Noriana Mohd Nor

Read More